www.whkt.net > 计算曲线积分∫L(x^2+y^2+z^2)Ds,其中L为螺旋线x=ACost,y=Asint,z=k...

计算曲线积分∫L(x^2+y^2+z^2)Ds,其中L为螺旋线x=ACost,y=Asint,z=k...

dx=-asintdt,dy=acost,dz=kdt,ds=√[(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2=√(a^2+k^2)dt,原式=∫<t1,t2>(a^2+k^2t^2)√(a^2+k^2)dt=[a^2t+(1/3)k^2t^3]√(a^2+k^2)|<t1,t2>,剩下部分留给您练习,可以吗?

不用那么麻烦把曲面公式代入被积函数中∫∫(x^2+y^2+z^2)ds=∫∫a^2ds=(a^2)*4πa^2=4πa^4

x't=e^t(cost-sint)y't=e^t(sint+cost)z't=e^tds=√[(x't)^2+(y't)^2+(z't)^2] dt=√3 e^t dt把各参数带入原积分原积分=∫√3 e^t dt /(2e^2t)=(√3/2)∫(t->t0) e^(-t)dt=(√3/2)[e^(-t)-e^(-t0)]

∫∫(x^2+y^2+z^2)^-0.5ds=∫∫ads=a*(2πa)=2πa曲面积分可以用曲面方程化简被积函数;被积函数为1,积分结果为曲面面积;球表面积为4πa,本题由于z>0,因此只是半个球,所以是2πa

在曲线上,x^2+y^2=1,曲线的弧长是π,所以,∫(l)(x^2+y^2)ds=∫(l)ds=π

令x=cost, y=sint. 则ds=根号下{(dx)^2+(dy)^2}=dt.这时积分曲线是圆心在x轴上的点(1,0)、半径为1且与y轴相切(切点是原点)的圆周,参数t的变化范围是-pai/2到pai/2. 于是原积分=2cost在-pai/2到pai/2上的积分=4.这是第一型曲线

曲线积分中积分曲线的方程是可以带人到积分表达式中的,因此I=∮a^2ds=a^2∮ds,而根据曲线积分的几何意义,∮ds就等于积分闭曲线的周长,由曲线的方程知积分曲线为半径等于a的圆周,其周长∮ds等于2πa,故I=2πa^3.

∫(x^2+y^2)ds= ∫4(1+t)*2tdt + ∫x*2dx + ∫(π^2+y^2)dy= π^2+π^3/3+π^3/3+4π^3/3 = π^2+2π^3.

x+y+z=2x=y∴2x+z=2所以L的参数方程为:x=y=cosθ,z=√2sinθ,0≤θ≤2πds=√(x'+y'+z')dθ=√2dθ∫|y|ds=∫(0→2π)|cosθ|√2dθ=∫(0→π/2)cosθ√2dθ-∫(π/2→3π/2)cosθ√2dθ+∫(3π/2→2π)cosθ√2dθ=√2-√2*(-1-1)+√2*[0-(-1)]=4√2

用计算公式套:az/ax=x/√(X^2+Y^2),az/ay=y/√(X^2+Y^2).D={(x,y):x^2+y^2

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