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幂级数x的n次方的收敛区间

∑[(-1)^(n-1)](x^n/n)求导得:∑[(-1)^(n-1)]x^(n-1)=∑(-x)^(n-1) (n从1起)=1/(1+x)积分得:∑[(-1)^(n-1)](x^n/n)=ln(1+x)x=1收敛,x=-1发散,收敛域(-1,1]

解:∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)(n+1)/n=1,∴收敛半径R=1/ρ=1.又,lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=丨x丨/R 评论0 0 0

对于幂级数 ∑ nx,由于 |u(n+1) / u(n)|=(n+1)/n * |x|→ |x|所以 -1明显 x=±1 时均发散,因此收敛域 (-1,1).

n次项系数a[n] = n!.a[n+1]/a[n] = n+1趋于∞.由D'Alembert判别法, 收敛半径为0.只在x = 0处收敛.

用根值法n√|X^n /2^n| 追问: 麻烦你能详细点吗 评论0 0 0

R=a(n-1)/an=n/(n-1)=1;当x=-1时,是交错级数,极限->0x=1是时,是调和级数,不收敛所以[-1,1)是收敛域

前后两项的比值:x^(n+1)/2(n+1)^(n+1)/[(x^n)/2*(n^n)]=x/[(1+1/n)^n*(1+n)]lim(1+1/n)^n=elim(1+n)=正无穷所以比值为:0故收敛半径为无穷大所以在整个区间R上收敛

用根值法n√|X^n /2^n|<1收敛半径是1区间是(-2,2)

幂级数{an},通项an=x^n/n*2^n ,后项比前项得:limit[a[n]/a[n-1],n→+∞]=limit[x(n-1)/(2n),n→+∞]=limit[x/2,n→+∞]=x/2,令x/2≤1得,收敛半径为x=2,然后对于边界上情况,|x/2|=1对应的x=±2分别讨论,当x=2时,原级数变为a[n]=2^n/(2^n*n)=1/n,此为调和级数,发散.当x=-2时,原级数变为a[n]=(-2)^n/(2^n*n)=(-1)^n/n,此为交错级数,对于交错级数只需要后项的绝对值小于前项的绝对值就收敛,所以该级数收敛.所以收敛区间为x∈[-2,2),即-2≤x

对x ≠ 2,记a[n] = (x-2)^n/n^2则n → ∞时,相邻项比值的绝对值|a[n+1]/a[n]| =| [ (x-2)^(n+1)/(n+1)^2]/ (x-2)^n/n^2|=|x-2|根据D'Alembert比值判别法:当|x-2| > 1,即:x>3和x

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