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求复变函数的可导性和解析性

<p>给你两个定理就清楚了:</p> <p>设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内确定,那么f(z)点z=x+iy∈D可微的充要条件是:在点z=x+iy,u(x,y)及v(x,y)可微,并且u/x=v/y,u/y=-v/x.</p><p>设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内确定,那么f(z)在区域D内解析的充要条件是:</p> <p>u(x,y)及v(x,y)在D内可微,而且在D内成立u/x=v/y,u/y=-v/x.</p>

一、作用不同:可导是点的性质,一般说在某点处可导.如果说在D上可导,则是指在D的每一点都容可导.二、解析不同:解析是点的邻域的性质,在z处解析是指在z的某一个邻域D内处处可导.在z处可导但在z处不一定解析,但在z处解析则

一般证明中用到的都是下面的“充要条件”注意:对于复变函数而言,可微与可导是等价的

1. 讨论复变函数的可导性或解析性,首先须在一定定义区域内讨论.2. 一个复变函数在一些区域内可导可解,在一些区域内可导不可解,在一些区域内不可导不可解.3. 在一定的区域内(注意是“内”)满足柯西-黎曼方程的复变函数一定可导可解,但不是所有的可导可解函数都满足柯西-黎曼方程.4. 初等函数可解.

设z=x+iy,则w=zIm(z)-Re(z)=y(x+iy)-x=xy-x+iy^2,记u=xy-x,v=y^2 则由柯西-黎曼条件(两个偏微分方程,可以查看教科书,我打不出偏导数符号,即u对x的偏导数等于v对y的偏导数,u对y的偏导数等于v对x的偏导数的相反数)得

根据定义f'(z0)=lim(△z→0)[f(z0+△z)-f(z0)]/△z存在且有限,则称f(z)在z0处可导,若f(z)在z0的某个领域内可导,则称f(z)在z0解析

在z处可导或可微是指只要在z这一点处可导或可微就行了 在z处解析,则要求在z的某一邻域内处处可导 解析比可微的条件要强

复变函数f(z)在区域d内可微(可导)的充要条件是f(z)在区域d内解析 复变函数f(z)在点a处解析,不仅要求在该点处的导数存在,而且存在a的一个领域,该领域内所有的点处,f(z)都可导.由此可见,函数f(z)在一点a处解析的要求要比可导的要求严格得多.

这是一个分式函数,只有在分母为0的点无意义、不解析,在其他地方都解析,所以解析的区域是C\{-1,1},在解析区域的导数为 当然也可以利用函数商的导数公式求导,这里为了简便采用复合函数的求导公式求解.

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